语音信号处理#3 线性预测分析（LPC）

本文最后更新于：2022年7月21日 下午

语音信号处理#3 线性预测分析（LPC）

LPC指Linear Predictive Coding，重要的是LP，线性预测。主要思想是由于语音样点之间存在相关性，所以可以用过去的样点值来预测现在的样点值，用数学公式表示就是：

x^(n)=∑k=1pwkx(n−k)\hat{x}(n)=\sum^p_{k=1}w_kx(n-k)

用过去p个点的加权和表示预测点x^(n)\hat{x}(n)。

现在问题是求这个权重wkw_k，因为比较熟悉机器学习，所以直接用那边的思想来解释：欲求参数的值，我们就定义一个损失函数，让损失函数达到最小时的参数值就是要求的值。所以我们定义MSE（mean square error），然后令导数等于0来求极值点。

\displaylines{ \epsilon(n)=x(n)-\hat{x}(n)\\\\ \boldsymbol{J}=MSE=\epsilon^2(n)\\\\ \frac{\partial \boldsymbol{J}}{\partial w_k}=0 }

嗯，就这么简单…………吗？下面公式推导看个乐子，不严谨。

展开公式如下：

定义Rn(j)=∑n=jN−1x(n)x(n−j)R_n(j)=\sum^{N-1}_{n=j}x(n)x(n-j)，（5）中忽略了-2

J=x2(n)−2x(n)x^(n)+x^2(n)=x2(n)−2x(n)∑k=1pwkx(n−k)+∑k=1p∑j=1pwkwjx(n−k)x(n−j)∂J∂wk=−2x(n)x(n−k)+∑j=1pwjx(n−j)x(n−k)(k=1,2,…,p)=−2R(k)+∑j=1pwjR(∣j−k∣)=0(k=1,2,…,p)R(k)=∑j=1pwjR(∣j−k∣)(k=1,2,…,p)\begin{align*} \boldsymbol{J} &= x^2(n)-2x(n)\hat{x}(n)+\hat{x}^2(n) \tag{1} \\\\ &= x^2(n)-2x(n)\sum^p_{k=1}w_kx(n-k)+\sum^p_{k=1}\sum^p_{j=1}w_kw_jx(n-k)x(n-j) \tag{2} \\\\ \frac{\partial \boldsymbol{J}}{\partial w_k} &= -2x(n)x(n-k)+\sum^p_{j=1}w_jx(n-j)x(n-k) \quad (k=1,2,\dots,p) \tag{3} \\\\ &=-2R(k)+\sum^p_{j=1}w_jR(|j-k|) = 0 \quad (k=1,2,\dots,p) \tag{4} \\\\ R(k) &= \sum^p_{j=1}w_jR(|j-k|) \quad (k=1,2,\dots,p) \tag{5} \end{align*}

（5）写成矩阵（Yule-Walker方程，左边那个是Toeplitz矩阵，使用Levinson-Durbin算法可求解）：

[R(0)R(1)⋯R(p−1)R(1)R(0)⋯R(p−2)⋮⋮⋮⋮R(p−1)R(p−2)⋯R(0)][w1w2⋮wp]=[R(1)R(2)⋮R(p)]\begin{bmatrix} R(0) & R(1) & \cdots & R(p-1) \\\\ R(1) & R(0) & \cdots & R(p-2) \\\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ R(p-1) & R(p-2) & \cdots & R(0) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\\\ w_2 \\\\ \vdots \\\\ w_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R(1) \\\\ R(2) \\\\ \vdots \\\\ R(p) \end{bmatrix}